Question

（本題滿分12分）

在平面直角坐標系中，已知A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x,y），M（，0），若實數λ使向量，λ，滿足λ²·（）²=·。

（1）求點P的軌跡方程，并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線；

（2）當λ=時，過點A₁且斜率為1的直線與此時（1）中的曲線相交的另一點為B，能否在直線x=-9上找一點C，使ΔA₁BC為正三角形（請說明理由）。

Answer 1

解析:

解：（1）由已知可得，=（x+3,y）,=(x-3,y),=(,0),

∵2（）2=·，∴²（x²-9）=x²-9+y²,

即P點的軌跡方程（1-²）x²+y²=9（1-₂）

當＞0，且≠0，即∈（-1，0）時，有+=1，

∵＞0，∴＞0，∴x2≤9。

∴P點的軌跡是點A₁，（-3，0）與點A₂（3，0）  ………………………………3分

當=0時，方程為x²+y²=9，P的軌跡是點A₁（-3，0）與點A₂（3，0）

當＜0，即入∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，方程為-=1，P點的軌跡是雙曲線。

當=0，即=±1時，方程為y=0，P點的軌跡是射線。……………………6分

（2）過點A1且斜率為1的直線方程為y=x+3,

當=時，曲線方程為+=1，

由（1）知，其軌跡為點A₁（-3，0）與A₂（3，0）

因直線過A₁（-3，0），但不過A₂（3，0）。

所以，點B不存在。

所以，在直線x=-9上找不到點C滿足條件。           …………………………12分