Question

（本小題滿分16分）對于函數，如果存在實數使得
，那么稱為的生成函數．
（Ⅰ）下面給出兩組函數，是否分別為的生成函數？并說明理由；
第一組：；
第二組：；
（Ⅱ）設，生成函數．若不等式
在上有解，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）設，取，生成函數使 恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）① 設，即
，取，所以是的生成函數．……………………2分
② 設，即，
則，該方程組無解．所以不是的生成函數．………4分
（Ⅱ）…………………………5分
若不等式在上有解，
，即……7分
設，則，，……9分
，故，．………………………………………………………10分
（Ⅲ）由題意，得
 若，則在上遞減，在上遞增，
則，所以，得  …………12分
 若，則在上遞增，則，
所以，得．………………………………………………14分
 若，則在上遞減，則，故，無解
綜上可知，………………………………………………………16分

略