Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

(2a+1)x2+(a2+a)x．
（1）若函數h(x)=

f′(x)

x

為奇函數，求a的值；
（2）若函數f（x）在x=1處取得極大值，求實數a的值；
（3）若a≥0，求f（x）在區間[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則和函數的奇偶性即可得出；
（2）利用導數研究函數的單調性極值即可得出；
（3）對a分類討論，利用導數研究函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）∵f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a），
∴h(x)=

x2-(2a+1)x+(a2+a)

x

．
∵h（x）為奇函數，
∴f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）為偶函數，即2a+1=0，
∴a=-

1

2

．
（2）∵f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
令f'（x）=0，得x₁=a+1，x₂=a，
∴f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）f	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴a=1．
（3）∵a＞-1，∴a+1＞0，
當a≥1時，f'（x）≥0對x∈[0，1]成立，
∴當x=1時，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
當0＜a＜1時，在x∈（0，a），f'（x）＞0，f（x）單調遞增，在x∈（a，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
∴當x=a時，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2；
當a=0時，在x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
∴當x=0時，f（x）取得最大值f（0）=0；
綜上所述，當a≥1時，f（x）在x=1取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
當0≤a＜1時，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值、分類討論、函數的奇偶性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．