Question

設函數其中，曲線在點處的切線方程為．
（I）確定的值；
（II）設曲線在點處的切線都過點（0,2）．證明：當時，；
（III）若過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，求的取值范圍．

Answer 1

（I），；（II）詳見試題解析；（III）的取值范圍是．

解析試題分析：（I）根據導數的幾何意義，首先對函數求導，可得，由已知：曲線在點處的切線方程為，從而可得的值及，又，故得；（II）先利用導數的幾何意義，求出在點處的切線方程為，而點在切線上，所以，化簡即得滿足的方程為，下面利用反證法明當時，；（III）由（II）知，過點可作的三條切線，等價于方程有三個相異的實根，即等價于方程有三個相異的實根．構造函數，利用導數求函數的極大值、極小值，只要的極大值與極小值異號即可，解這個不等式組即可求得的取值范圍．
試題解析：（I）由又由曲線處的切線方程為，得故
（II）處的切線方程為，而點在切線上，所以，化簡得，即滿足的方程為．
下面用反證法證明：假設處的切線都過點，則下列等式成立．

由（3）得
又，故由（4）得，此時與矛盾，．
（III）由（II）知，過點可作的三條切線，等價于方程有三個相異的實根，即等價于方程有三個相異的實根．
設，則，由于，故有

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