Question

（理）已知三個互不相等的正數a，b，c成等比數列，公比為q．在a，b之間和b，c之間共插入n個數，使這n+3個數構成等差數列．
（1）若a=1，在b，c之間插入一個數，求q的值；
（2）設a＜b＜c，n=4，問在a，b之間和b，c之間各插入幾個數，請說明理由；
（3）若插入的n個數中，有s個位于a，b之間，t個位于b，c之間，試比較s與t的大小．

Answer 1

解：（1）若a=1，因為a，b，c是互不相等的正數，所以q＞0且q≠1．
由已知，a，b，c是首項為1，公比為q的等比數列，則b=q，c=q²，
當插入的一個數位于b，c之間，設由4個數構成的等差數列的公差為d，則，消去d得2q²-3q+2=0，
因為q≠1，所以q=2．
（2）設所構成的等差數列的公差為d，由題意，d＞0，共插入4個數．
若在a，b之間插入1個數，在b，c之間插入3個數，則，
于是，2b-2a=c-b，q²-3q+2=0，解得q=2．
若在a，b之間插入3個數，在b，c之間插入1個數，則，
于是，2c-2b=b-a，解得（不合題意，舍去）．
若a，b之間和b，c之間各插入2個數，則，b-a=c-b，解得q=1（不合題意，舍去），
綜上，a，b之間插入1個數，在b，c之間插入3個數．
（3）設所構成的等差數列的公差為d，
由題意可得，b=a+（s+1）d，，又c=b+（t+1）d，，
所以，，即，因為q≠1，所以．
所以，當q＞1，即a＜b＜c時，s＜t；當0＜q＜1，即a＞b＞c時，s＞t．
分析：（1）若a=1，設由4個數構成的等差數列的公差為d，則，消去d，求得q的值．
（2）設所構成的等差數列的公差為d，由題意，d＞0，共插入4個數．若在a，b之間插入1個數，在b，c之間插入3個數，求得q的值；若在a，b之間插入3個數，在b，c之間插入1個數，求得q的值；若a，b之間和b，c之間各插入2個數，求得q的值，綜合可得結論．
（3）設所構成的等差數列的公差為d，由題意可得，因為q≠1，所以，分q＞1和 0＜q＜1兩種情況，分別得出結論．
點評：本題主要考查等差數列的定義、性質以及通項公式，等比數列的定義、性質以及通項公式的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．