Question

已知圓M：（x-m）²+（y-n）²=γ²及定點N（1，0），點P是圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
（Ⅰ）若m=-1，n=0，r=4，求點G的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若動圓M和（Ⅰ）中所求軌跡C相交于不同兩點A、B，是否存在一組正實數m，n，r使得直線MN垂直平分線段AB，若存在，求出這組正實數；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用向量間的關系求出點Q為PN的中點以及|PG|=|GN|，可得點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓進而求出點G的軌跡C的方程；
（Ⅱ）先假設存在，利用點差法（把點的坐標代入橢圓后兩方程作差）求出直線的斜率和中點坐標之間的關系，再利用直線MN垂直平分線段AB求出中點橫坐標，與條件相比較可得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵

NP

=2

NQ

，
∴點Q為PN的中點，
又∵

GQ

•

NP

=0，
∴GQ⊥PN或G點與Q點重合．
∴|PG|=|GN|．（2分）
又|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=|PM|=4．
∴點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，且a=2，c=1．
∴b=

a2-c2

=

3

，∴G的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（Ⅱ）解：不存在這樣一組正實數，下面證明：（6分）
由題意，若存在這樣的一組正實數，當直線MN的斜率存在時，設之為k，
故直線MN的方程為：y=k（x-1），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點D（x₀，y₀），
則

x12 4 + y12 3 =1 x22 4 + y22 3 =1

，
兩式相減得：

(x1-x2)(x1+x2)

4

+

(y1-y2)(y1+y2)

3

=0，①（8分）
注意到

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

，且

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

，
則

3x0

4y0

=

1

k

．②
又點D在直線MN上，
∴y₀=k（x₀-1），代入②式得：x₀=4，
因為弦AB的中點D在（1）所給橢圓C內，
故-2＜x₀＜2，這與x₀=4矛盾．
所以所求這組正實數不存在．（11分）
當直線MN的斜率不存在時，直線MN的方程為x=1，
則此時y₁=y₂，x₁+x₂=2，
代入①式得x₁-x₂=0，這與A，B是不同兩點矛盾．
綜上，所求的這組正實數不存在．（12分）

點評：本題是對圓，橢圓，向量以及直線與圓錐曲線位置關系的綜合考查，由于知識點較多，是道難題．