Question

（本小題滿分14分）
已知函數.
(1)當時，討論的單調性；
（2）設當時，若對任意，存在，使恒成立，求實數取值范圍.

Answer 1

（1）
當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞減；
函數f(x)在（1,）上單調遞增；
當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞減；
函數f(x)在（1,）上單調遞減；
當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞增；
函數f(x)在（1,）上單調遞減；
（2）

解：（Ⅰ）因為，
所以 ， 
令 ，
（1）當a=0時h(x)="-x+1,"
所以 當時，h(x)＞0，此時，函數f(x)單調遞減；
當時，h(x)＞0，此時，函數f(x)單調遞增
（2）當時，，
即，解得，
當時，恒成立，
此時，函數 在上單調遞減；
②當，
時，，此時，函數單調遞減；
時，此時，函數 單調遞增；
時，，此時，函數單調遞減；
③當時，由于，
，,此時，函數 單調遞減；
時，，此時，函數單調遞增.
綜上所述：
當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞減；
函數f(x)在（1,）上單調遞增；
當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞減；
函數f(x)在（1,）上單調遞減；
當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞增；
函數f(x)在（1,）上單調遞減；
（Ⅱ）因為a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增，
所以在（0，2）上的最小值為。
由于“對任意，存在，使”等價于
“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）
又=，，所以
①當時，因為，此時與（*）矛盾
②當時，因為，同樣與（*）矛盾
③當時，因為，解不等式8-4b，可得
綜上，b的取值范圍是