Question

若函數y=f（x），x∈D同時滿足下列條件，（1）在D內為單調函數；（2）存在實數m，n．當x∈[m，n]時，y∈[m，n]，則稱此函數為D內等射函數，設f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0，且a≠1）則：
（1）f（x）在（-∞，+∞）的單調性為______；
（2）當f（x）為R內的等射函數時，a的取值范圍是______．

Answer 1

（1）∵f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0，且a≠1），
∴f′(x)=

1

lna

•lna•ax=a^x＞0，
∴f（x）在R上是增函數．
（2）∵f（x）為等射函數，
∴f（x）=

ax+a-3

lna

=x有兩個不等實根，
即a^x-xlna+a-3=0有兩個不等實根，
令g（x）=a^x-xlna+a-3，
∴g′（x）=a^xlna-lna=lna（a^x-1），
令g′（x）=0，得x=0．
①當a＞1時，x＞0時，g′（x）＞0，x＜0時，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=1+a-3＜0，
∴a＜2，
故1＜a＜2；
②當0＜a＜1時，x＞0時，g′（x）＞0，x＜0時，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=0，
∴0＜a＜1．
綜上所述，a∈（0，1）∪（1，2）．
故答案為：增函數，（0，1）∪（1，2）．