Question

已知直線經過橢圓C：的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線：分別交于M，N兩點，如圖所示。

（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；
（3）當線段MN的長度的最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點T的個數，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意，得橢圓方程為。
（2）設直線AS的方程為，
從而可知M點的坐標為，
由，得，
所以可得BS的方程為，
從而可知N點的坐標為，
∴，當且僅當時，等號成立，
故當時，線段MN的長度取最小值。
（3）由（2）知，當|MN|取最小值時，，
此時直線BS的方程為，，
∴|BS|=，
要使橢圓C上存在點T，使得△TSB的面積等于，只需T到直線BS的距離等于，
所以點T在平行于直線BS且與直線BS的距離等于的直線上。

則直線：或，
聯立，，△<0，無解；
，△=44>0，有兩個解；
所以T有兩個。