Question

已知函數．
（I）求的值；
（II）求函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間．

Answer 1

【答案】分析：（I）把x=直接代入函數的解析式，化簡求得f（）的值．
（II）由cosx≠0，得 x≠kπ+，（k∈z ）．化簡函數的解析式為sin（2x+），從而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數的減區間．
解答：解：（I）由函數的解析式可得
=+=0+=．…（4分）
（II）∵cosx≠0，得 x≠kπ+，（k∈z ）
故f（x）的定義域為{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．
因為 =sinx（cosx-sinx）+=sin2x-sin²x+
=sin2x-+=sin2x+cos2x=sin（2x+），
所以f（x）的最小正周期為 T==π．
由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，
得 kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，
所以，f（x）的單調遞減區間為 （kπ+，kπ+ ），（kπ+，kπ+ ），k∈z．…（13分）
點評：本題主要考查二倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數的單調性，屬于中檔題．