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已知M是△ABC內的一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°．定義：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別為△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
1
2
），則
1
2x
+
2
y
的最小值為
9
9
，此時f（M）=（
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
．
分析：利用向量的數量積公式、三角形的面積公式，確定x+y=
1
2
，再利用基本不等式，即可求得結論．
解答：解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，
∴|
AB
||•
AC
|=4
∴S△ABC=
1
2
|
AB
||•
AC
|sin30°=1
∵x，y，z分別為△MBC，△MCA，△MAB的面積，f（M）=（x，y，
1
2
），
∴x+y=
1
2

∴
1
2x
+
2
y
=2（x+y）（
1
2x
+
2
y
）=2（
1
2
+2+
y
2x
+
2x
y
）≥2(
5
2
+2
y
2x
•
2x
y
=9
當且僅當
y
2x
=
2x
y
，即y=2x=
1
3
時，取等號，此時，
1
2x
+
2
y
的最小值為9，f（M）=(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
故答案為：9，(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
點評：本題考查向量知識的意義，考查基本不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是△ABC內的一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值是（　　）
A、20B、18C、16D、9

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是△ABC內的一點（不含邊界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z．
（1）x+y+z=
 
；
（2）定義f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
，則f（x，y，z）的最小值是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是△ABC內的一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是△ABC內的一點（不含邊界），且
AB
.
AC
=2
3
∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z，則
1
x+y
+
4
z
的最小值是
9
9
．

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