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已知M是△ABC內的一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值是（　　）
A、20B、18C、16D、9
分析：利用向量的數量積的運算求得bc的值，利用三角形的面積公式求得x+y的值，進而把
1
x
+
4
y
轉化成2（
1
x
+
4
y
）×（x+y），利用基本不等式求得
1
x
+
4
y
的最小值．
解答：解：由已知得
AB
•
AC
=bccos∠BAC=2
3
?bc=4，
故S△ABC=x+y+
1
2
=
1
2
bcsinA=1?x+y=
1
2
，
而
1
x
+
4
y
=2（
1
x
+
4
y
）×（x+y）
=2（5+
y
x
+
4x
y
）≥2（5+2
y
x
×
4x
y
）=18，
故選B．
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，向量的數量積的運算．要注意靈活利用y=ax+
b
x
的形式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是△ABC內的一點（不含邊界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z．
（1）x+y+z=
 
；
（2）定義f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
，則f（x，y，z）的最小值是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是△ABC內的一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是△ABC內的一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°．定義：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別為△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
1
2
），則
1
2x
+
2
y
的最小值為
9
9
，此時f（M）=（
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是△ABC內的一點（不含邊界），且
AB
.
AC
=2
3
∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z，則
1
x+y
+
4
z
的最小值是
9
9
．

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