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在面積為1的△PMN中，tanM=，tanN=-2.建立適當的坐標系，求出以M、N為焦點且過點P的橢圓方程.

思路解析：建立適當的坐標系后,易得PM、PN的方程，則有了P點坐標，待定系數法可求橢圓方程；也可以解△PMN，得三邊長后再建系求方程.

解法一：以MN所在直線為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，如圖所示.

設所求橢圓方程為+=1(a＞b＞0).分別記 M、N點的坐標為(-c，0)、(c，0).

由tan∠PMN=,tan∠PNx=tan(π-∠PNM)=2得直線PM、PN的方程分別是

y=（x+c），y=2（x-c）.

聯立解得即P(c，c).

又S△MNP=|MN|·y=·2c·c=c2=1.

∴c=，從而點P為（，）.

將點P的坐標代入橢圓方程,得

+=1.                              ①

由題意,得a2-c2=b2.

∴a2-=b2.②

由①②聯立得方程組

解得a2=，b2=3.

∴橢圓的標準方程是+=1.

解法二：同解法一，得c=，P(，).

∴|PM|=

==.

∴|PN|=（x-c）2+y2

==.

∴a=（|PM|+|PN|）=，從而b2=a2-c2=-=3.

∴橢圓方程為+=1.

解法三：如圖所示，過P作PQ⊥MN，PQ交MN的延長線于Q，

∵∠MNP=π-∠PNQ，

∴tan∠MNP=tan（π-∠PNQ）=-2.

∴tanPNQ=2.

在Rt△PNQ中，tan∠PNQ=.

∴PQ=2NQ，即NQ=PQ.

同理,PQ=MQ，∴MQ=2PQ.∴MN=MQ-NQ=2PQ-PQ=PQ.

∵S△MNP=MN·PQ，∴·PQ·PQ=1.

∴PQ=.∴MQ=2PQ=，NQ=.

∴PM===，

PN===，

MN=PQ=·=.

以MN所在直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立如圖所示的坐標系.

設橢圓的標準方程是+=1（a＞b＞0）,

則2a=|PM|+|PN|=+=,

2c=|MN|=.

∴a=,c=.

∴b2=a2-c2=()2-()2=3.

∴橢圓的標準方程是+=1.


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