Question

已知偶函數f（x）滿足：f（x）=f（x+2），且當x∈[0，1]時，f（x）=sinx，其圖象與直線y=

1

2

在y軸右側的交點按橫坐標從小到大依次記為P₁，P₂…，則

P1P3

•

P2P4

等于

 

．

Answer 1

分析：根據題目條件中所給的函數是一個偶函數知函數圖象關于縱軸對稱，根據f（x）=f（x+2）知函數是以2為周期，可以粗略的看出函數的變化趨勢，寫出四個點的坐標，得到向量的坐標，求出數量積．

解答：解：∵偶函數f（x）滿足：f（x）=f（x+2），
且當x∈[0，1]時，f（x）=sinx，
∴根據圖象關于y軸對稱可以看出[-1，0]上的圖象，根據周期是2可以看出在整個定義域上的圖象，
∴P₁（

π

6

，

1

2

），P₂（2-

π

6

，

1

2

），P₃（2+

π

6

，

1

2

），P₄（4-

π

6

，

1

2

）
∴

P1P3

=（2，0），

P2P4

=（2，0）
∴

P1P3

•

P2P4

=4，
故答案為：4

點評：本題表面上是對向量數量積的考查，根據兩個向量的坐標，用數量積列出式子，但是題目的重心是函數的性質的應用，在解題過程中函數的性質占有主要地位．