Question

已知曲線C上的動點M（x，y）滿足到點（1，0）的距離比到直線x=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點P（2，4）的直線與曲線C交于A、B兩點，在線段AB上取點Q，滿足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，證明：
（ⅰ）

1

| PA |

+

1

| PB |

=

2

| PQ |

；（ⅱ）點Q總在某定直線上．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線定義，很容易判斷曲線C的軌跡為拋物線，再利用求拋物線方程的方法求出曲線C的方程．
（2）（ⅰ）要證

1

| PA |

+

1

| PB |

=

2

| PQ |

，只需用分析法逐步變形，尋找成立的充分條件即可，最后尋找到恒成立的條件．
（ⅱ）要證點Q總在某定直線上，只要找到一條直線，使其上面有點滿足|

QB

|=|

AQ

|，即可．

解答：解：（1）依題意有

(x-1)2+y2

=|x+2|-1，
由顯然x＞-2，得

(x-1)2+y2

=|x+1|，
化簡得y²=4x；                              
（2）證明：（ⅰ）|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|?

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

=

| PQ |-| PA |

| PB |-| PQ |

?|AP|•|PB|-|

AP

|•|

PQ

|=|

PB

|•|

PQ

|-|

PB

|•|

PA

|?2|

AP

|•|

PB

|=|

PB

|•|

PQ

|+|

AP

|•|

PQ

|
?

1

| PA |

+

1

| PB |

=

2

| PQ |

（ⅱ）設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），不妨設點A在點P與點B之間，點Q（x，y），
依（ⅰ）有

2

2-x

=

1

2-x1

+

1

2-x2

=

4-(x1+x2)

4-2(x1+x2)+x1•x2

*，
又可設過點P（2，4）的直線方程為y=k（x-2）+4，
得

y=k(x-2)+4 y2=4x

?k2x2+(8k-4k2-4)x+4k2-16k+16，x₁+x₂=

4k2-8k+4

k2

，x1•x2=

4k2-16k+16

k2

，代入上*式得

2

2-x

=

4- 4k2-8k+4 k2

4-2• 4k2-8k+4 k2 + 4k2-16k+16 k2

=

8k-4

8

=

2k-1

2

，
又k=

4-y

2-x

，得x-2y+2=0，
當直線AB的斜率不存在時，也滿足上式．即點Q總過直線x-2y+2=0，得證．

點評：本題考查了定義法求軌跡方程，以及分析法證明不等式，做題時要認真分析，找到各知識點之間的聯系．