Question

已知曲線C上的動點M到y軸的距離比到點F（1，0）的距離小1，
（I）求曲線C的方程；
（II）過F作弦PQ、RS，設PQ、RS的中點分別為A、B，若

PQ

•

RS

=0，求|

AB

|最小時，弦PQ、RS所在直線的方程；
（III）是否存在一定點T，使得

AF

=λ

TB

-

FT

？若存在，求出P的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據拋物線定義可知曲線C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，進而可得拋物線的方程．
（II）設l_PQ：y=k（x-1），代入拋物線消去y，得到一元二次方程，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而可得點A的坐標，根據

PQ

•

RS

=0，可知PQ⊥RS，進而可得|

AB

 |的表達式，進而可知當k=±1時|

AB

|最小值．答案可得．
（III）根據

AF

=λ

TB

-

FT

推斷出

AT

=λ

TB

，進而可知即A，T，B三點共線由（II）可得直線AB的方程整理得（1-k²）y=k（x-3）進而可知直線AB過定點（3，0）．

解答：解：（I）由條件，M到F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
所以，曲線C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，其方程為y²=4x
（II）設l_PQ：y=k（x-1），代入y²=4x得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由韋達定理

x1+x2= 2(k2+2) k2 x1x2=1

∴xA=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

=1+

2

k2

，yA=k(xA-1)=

2

k

∴A(1+

2

k2

，

2

k

)∵

PQ

•

RS

=0，
∴PQ⊥RS只要將A點坐標中的k換成-

1

k

，得B（1+2k²，-2k）
∴|

AB

|=

(1+ 2 k2 -(1+2k2))2+( 2 k +2k)2

=

4 k4  +4k4+ 4 k2 +4k2

≥4（當且僅當k=±1時取“=”）
所以，|

AB

|最小時，弦PQ、RS所在直線的方程為y=±（x-1），
即x+y-1=0或x-y-1=0
（III）∵

AF

=λ

TB

-

FT

?

AF

+

FT

=λ

TB

?

AT

=λ

TB

，
即A，T，B三點共線
∴是否存在一定點T，使得

AF

=λ

TB

-

FT

，
即探求直線AB是否過定點
由（II）知，直線AB的方程為y+2k=

-2k- 2 k

2k2+1-( 2 k2 +1)

(x-2k2-1)
即（1-k²）y=k（x-3），
∴直線AB過定點（3，0）
故存在一定點T（3，0），
使得

AF

=λ

TB

-

FT

．

點評：本題主要考查拋物線的應用．考查了綜合運用所學知識和運算的能力．