Question

已知水渠在過水斷面面積為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大．現有以下兩種設計，如圖：  圖①的過水斷面為等腰△ABC，AB＝BC，過水濕周．圖②的過水斷面為等腰梯形ABCD，AB＝CD，AD∥BC，∠BAD＝60°，過水濕周．  若△ABC與梯形ABCD的面積都為S，

      
圖①                                     圖②

（1）分別求和的最小值；  
（2）為使流量最大，給出最佳設計方案．

Answer 1

解：在圖①中，設∠，AB＝BC＝a．
則，
由于S、a、皆為正值，可解得．
當且僅當，即＝90°時取等號．
所以，的最小值為．
在圖②中，設AB＝CD＝m，BC＝n，由∠BAD＝60°
可求得AD＝m＋n，，
解得．，
的最小值為．
當且僅當，即時取等號．
（2）由于，則的最小值小于的最小值．所以在方案②中當取得最小值時的設計為最佳方案