Question

已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如圖，E是側(cè)棱PC上的動點．

（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）當(dāng)點E在何位置時，BD⊥AE？證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若點E為PC的中點，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由該四棱錐的三視圖知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．
（Ⅱ）不論點E在PC上的何位置，都有BD⊥AE，欲證明證明此結(jié)論，只需證明BD⊥平面PAC，不論點E在何位置，都有AE?平面PAC即可．
（Ⅲ）法一：在平面DAE內(nèi)過點D作DG⊥AE于G，連接BG，由CD=CB，EC=EC，知Rt△ECD≌Rt△ECB，故BG=EA，所以∠DGB是二面角D-EA-B的平面角，由此能求出二面角D-AE-B的大小．
法二：以點C為坐標(biāo)原點，CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-AE-B的大小．

解答：解：（Ⅰ）由該四棱錐的三視圖知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴四棱錐P-ABCD的體積V_P-ABCD=

1

3

S正方形ABCD×PC=

2

3

．
（Ⅱ）不論點E在PC上的何位置，都有BD⊥AE，
證明如下：
連接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC，
∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，
∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC，
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
（Ⅲ）解法一：在平面DAE內(nèi)過點D作DG⊥AE于G，連接BG，
∵CD=CB，EC=EC，∴Rt△ECD≌Rt△ECB，
∴BG=EA，
∴∠DGB是二面角D-EA-B的平面角，
∵BC⊥DE，AD∥BC，∴AD⊥DE，
在Rt△ADE中，DG=

AD•DE

AE

=

2

3

=BG，
在△DGB中，
由余弦定理得cos∠DGB=

DB2+BG2-BD2

2DB•BG

=

2× 2 3 -2

2× 2 3

=-

1

2

∴∠DGB=

2π

3

．
解法二：以點C為坐標(biāo)原點，CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示：
則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），從

DE

=(-1，0，1)，

DA

=(0，1，0)，

BA

=(1，0，0)，

BE

=(0，-1，1)
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為

m

=(a，b，c)，

n

=(a′，b′，c′)
由

DE

•

m

=0，

DA

•

m

=0可得：-a+c=0，b=0，
同理得：a'=0，-b'+c'=0．令c=1，c'=-1，則a=1，b'=-1，
∴

m

=(1，0，1)，

n

=(0，-1，-1)------（10分）
設(shè)二面角D-AE-B的平面角為θ，則cosθ=

m • n

|m |•| n |

=-

1

2

∴∠DGB=

2π

3

．

點評：本題考查四棱錐體積的求法，考查直線垂直的判斷與證明，考查二面角的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運用．