Question

對于函數f(x)=

1

ax-1

+

1

2

(a＞0，a≠1)．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）探究函數f（x）的單調區間，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據題意，先求出f（x）的定義域，判斷可得其定義域關于原點對稱，進而將f（x）變形為f(x)=

(ax+1)

2(ax-1)

，求出f（-x）的解析式，即可得f（x）=-f（x），由奇函數的定義可得答案．
（2）設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，對f（x₁）、f（x₂）做差可得f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＜0，分0＜a＜1與a＞1兩種情況討論，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，可得f（x）在（0，+∞）的單調性，結合函數的奇偶性，分析可得答案．

解答：解：（1）對于函數f(x)=

1

ax-1

+

1

2

(a＞0，a≠1)，
必有a^x-1≠0，解可得x≠0，
則函數f（x）的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，
f（x）=

1

ax-1

+

1

2

=

ax+1

2(ax-1)

，則f(x)=

(ax+1)

2(ax-1)

，
又由f(-x)=-

(ax+1)

2(ax-1)

=-f(x)，
所以f（x）為奇函數，
（2）設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＜0，
因為0＜x₁＜x₂
①當0＜a＜1時，f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數，
②當a＞1時，f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數，
因為f（x）為奇函數，其圖象關于原點對稱，
所以當0＜a＜1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（0，+∞）；
當a＞1時，函數f（x）的單調遞減區間為（-∞，0），（0，+∞）．

點評：本題考查函數的奇偶性與單調性的判斷，對于奇偶性首先應該分析函數的定義域是否關于原點對稱，對于單調性的判斷一般用作差法．