Question

(2007湖北十校模擬)定義函數，，其導函數記為．

(1)求證：；

(2)設，n≥2，求證：；

(3)是否存在區間，使函數在區間[a，b]上的值域為[ka，kb]?若存在，求出最小的k值及相應的區間[a，b]．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵，令， 當n=1時，有g(x)=0，此時； 當n≥2時，有． 當x(－2，0)時，， 當x(0，＋∞)時，， ∴g(x)在(－2，0)上遞減，在(0，＋∞)上遞增．故g(x)在x=0處取得極(最)小值，g(0)=0． ∴g(x)≥0，即(當且僅當x=0時取等號)．綜上，可知． (2)由，得． ∴，，易知， 而． 由(1)知當x＞0時，，故，∴，∴，∴． (3)， ． 令得，， ∴當x(－2，－1)時，； 當時，； 當時，， 故h(x)的草圖如圖所示． 下面考察直線y=kx(k＞0)與y=h(x)的相交問題． 由圖可知直線y=kx(k＞0)與y=h(x)存在交點，且滿足h(x)在區間[a，b]上的值域為[ka，kb]． ∵在[－1，0]上，為圖象的極小值點， ∴過A作直線與y=h(x)的圖象交于另一點，當直線y=kx繞原點O順時針旋轉至點B時，滿足條件的k取最小值，即k的最小值為，相應區間[a、b]為．