Question

已知過橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點F（-1，0）的弦AB的中點M的坐標是（-

2

3

，

1

3

），則橢圓E的方程是______．

Answer 1

∵弦AB經(jīng)過焦點F（-1，0），AB的中點為M（-

2

3

，

1

3

），
∴直線AB即直線FM，它的斜率k=

1 3 -0

- 2 3 +1

=1，可得直線AB的方程是y=x+1，
由

y=x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

消去y，可得（a²+b²）x²+2a²x+a²（1-b²）=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，
可得x₁+x₂=

-2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2(1-b2)

a2+b2

．
∴y₁+y₂=（x₁+1）+（x₂+1）=（x₁+x₂）+2=

-2a2

a2+b2

+2=

2b2

a2+b2

．
又∵AB的中點為M（-

2

3

，

1

3

），
∴

1

2

（x₁+x₂）=-

2

3

且

1

2

（y₁+y₂）=

1

3

，可得x₁+x₂=-

4

3

且y₁+y₂=-

2

3

．
因此

-2a2

a2+b2

=-

4

3

且

2b2

a2+b2

=-

2

3

，解之得a²=2，b²=1．
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1．
故答案為：

x2

2

+y2=1