Question

（2013•湖北）已知a為常數，函數f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D

∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個解x₁，x₂?函數g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個零點
?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．
．
①當a≤0時，g′（x）＞0，f′（x）單調遞增，因此g（x）=f′（x）至多有一個零點，不符合題意，應舍去．
②當a＞0時，令g′（x）=0，解得x=，
∵x，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增；時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減．
∴x=是函數g（x）的極大值點，則＞0，即＞0，
∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．
∵，f′（x₁）=lnx₁+1﹣2ax₁=0，f′（x₂）=lnx₂+1﹣2ax₂=0．
且f（x₁）=x₁（lnx₁﹣ax₁）=x₁（2ax₁﹣1﹣ax₁）=x₁（ax₁﹣1）＜x₁（﹣ax₁）=＜0，
f（x₂）=x₂（lnx₂﹣ax₂）=x₂（ax₂﹣1）＞=﹣．（）．
故選D．