Question

（（本小題滿分12分）設函數的圖象關于原點對稱，且=1時，f(x)取極小值。
(1)求的值；
(2)若時，求證：。

Answer 1

解答(1) ∵函數f(x)圖象關于原點對稱，∴對任意實數x，都有f(-x)="-" f(x).
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立.
∴b=0,d=0,即f(x)=ax³+cx.   ∴f′(x)=3ax²+c.
∵x=1時,f(x)取極小值-.   ∴f′(1)=0且f(1)="-" ,
即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1………………………………….6分
(2)證明：∵f′(x)=x²-1,由f′(x)=0,得x=±1.
當x∈(-∞，-1)或（1，+∞）時，f′(x)＞0; 當 x∈(-1，1)時，f′(x)＜0.
∴f(x)在[-1,1]上是減函數，且f_max(x)=f(-1)= , f_min(x)=f(1)= -.
∴在[-1,1]上，|f(x)|≤.
于是x₁,x₂∈[-1,1]時，|f(x₁)-f(x₂)|≤=+=.
故x₁,x₂∈[-1,1]時,|f(x₁)-f(x₂)|≤………………………………………….12分

略