Question

已知O，A，B是同一平面內不共線的三點，且，則下列命題正確的是    ．（寫出所有正確命題的編號）
①若，則點M是線段AB的中點；
②若λ=-1，μ=2，則M，A，B三點共線；
③若，則點M在∠AOB的平分線上；
④若，則點M是△OAB的重心；
⑤若點M在△OAB外，則λ＜0或μ＜0或．

Answer 1

【答案】分析：由已知可得=2，即點M是線段AB的中點，可判斷①的真假；由已知可得=2，故M，A，B三點共線，可判斷②的真假；根據表示與同向的單位向量，可得M點是以同向的單位向量和又同向的單位向量為兩鄰邊的菱形對角線頂點上，進而根據菱形的性質，可判斷③的真假；由已知可得++=，可得M為三角形的重心，進而判斷④的真假；根據已知分析點M在△OAB外的各種情況，綜合討論結果，可得答案．
解答：解：當時，，此時=-，=-=，故=2，即點M是線段AB的中點，故①正確；
當λ=-1，μ=2時，，此時=-，=-==2，故M，A，B三點共線，故②正確；
當時，，此時M點是以同向的單位向量和又同向的單位向量為兩鄰邊的菱形對角線頂點上，根據菱形對角線平分對角，可得點M在∠AOB的平分線上，故③正確；
當時，，此時++=，可得M為三角形的重心，故④正確；
反向延長OA，OB，分別計為OC，OD，當M點在區域AOC上時，λ＜0；當M點在區域BOD上時，μ＜0；當M點在區域COD上時，λ＜0且μ＜0；當M點在區域COD上時，λ＞0且μ＞0，若此時M點△OAB外，則，故⑤正確
故答案為：①②③④⑤
點評：本題又命題的真假判斷為載體考查了向量的性質，是向量問題的綜合應用，難度稍大，屬中檔題．