Question

定義在R上的函數y=f（x），若對任意不等實數x₁，x₂滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，且對于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立．又函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，則當 1≤x≤4時，

y

x

的取值范圍為

[-

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：由

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0可得：函數f（x）是遞減函數．由函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，可得函數f（x）是奇函數，再結合f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0可得（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），進而利用線性規劃的知識解決問題．

解答：解：因為對任意不等實數x₁，x₂滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
所以函數f（x）是定義在R上的單調遞減函數．
因為函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
所以函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即函數f（x）是定義在R上的奇函數．
又因為對于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，
所以f（x²-2x）≥f（-2y+y²）成立，
所以根據函數的單調性可得：對于任意的x，y∈R，不等式x²-2x≥y²-2y成立，即（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），
所以可得其可行域，如圖所示：

因為

y

x

=

y-0

x-0

，
所以

y

x

表示點（x，y）與點（0，0）連線的斜率，
所以結合圖象可得：

y

x

的最小值是直線OC的斜率-

1

2

，最大值是直線AB的斜率1，
所以

y

x

的范圍為：[-

1

2

，1]．
故答案為：[-

1

2

，1]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握抽象函數的性質的證明與判斷，如單調性、奇偶性的證明與判斷，并且熟練的利用函數的性質解有關的不等式，以及熟練掌握線性規劃問題，此題綜合性較強知識點也比較零散，對學生掌握知識與運用知識的能力有一定的要求．