Question

（本題滿分12分）

如圖，斜率為1的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于兩點(diǎn)A，B。

   （1）若|AB|=8，求拋物線的方程；

   （2）設(shè)C為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括A，B兩點(diǎn)），求的面積S的最大值；

   （3）設(shè)P是拋物線上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB分別交拋物線的準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)，證明M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值（僅與p有關(guān)）

Answer 1

（1）

（2）

（3）證明見(jiàn)解析。

解析:

解：設(shè)

   （1）由條件知直線

由消去y，得      …………1分

由題意，判別式（不寫(xiě)，不扣分）

由韋達(dá)定理，

由拋物線的定義，

從而所求拋物的方程為   …………3分

   （2）設(shè)。由（1）易求得

則              …………4分

點(diǎn)C到直線的距離

將原點(diǎn)O（0，0）的坐標(biāo)代入直線的左邊，

得

而點(diǎn)C與原點(diǎn)O們于直線的同側(cè)，由線性規(guī)劃的知識(shí)知

因此         …………6分

由（1），|AB|=4p。

由

知當(dāng)      …………8分

   （3）由（2），易得

設(shè)。

將代入直線PA的方程

得

同理直線PB的方程為

將代入直線PA，PB的方程得

              …………10分

         …………12分