Question

已知函數，，(為自然對數的底數)．
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）函數在區間上恒為正數，求的最小值；
（Ⅲ）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）的單調減區間為，單調增區間為（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）函數f (x)的定義域為，
當時，
由， 由．
故的單調減區間為，單調增區間為．                               ……4分
（Ⅱ）在恒成立等價于：在恒成立，
令則，x∈,
于是在上為減函數，又在x=e處連續,
故在,
從而要使對任意的恒成立．
只要，故的最小值為．                                             ……9分
（Ⅲ）一次函數在上遞增，故函數在上的值域是．
當時，為單調遞減函數，不合題意；
當時，，
要使在不單調，只要，此時�、�
故在上單調遞減，在上單調遞增．
注意到時，
∴
∴對任意給定的，在區間上總存在兩個不同的使得成立，當且僅當滿足下列條件，即
令，
當時，函數單調遞增；
當時，函數單調遞減．
所以，當時有即對任意恒成立．
又由，解得……②
∴　綜合①②可知，當時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使成立．                                                            ……14分
點評：導數是研究函數性質的有力工具，研究單調性、極值、最值時不要忘記先求函數的定義域，而不等式恒成立問題，一般轉化為函數的最值問題解決，分類討論時要注意分類標準要不重不漏.