Question

（本小題滿分13分）
已知數列滿足：，
（I）                   求得值；
（II）                 設，試求數列的通項公式；
（III）    對任意的正整數，試討論與的大小關系。

Answer 1

（Ⅰ）5，5，8（Ⅱ）（III）

（Ⅰ）∵，，，，
∴；；.   ………………3分
（Ⅱ）由題設，對于任意的正整數，都有：，
∴.∴數列是以為首項，為公差的等差數列.
∴.       …………………………………………………………7分
（Ⅲ）對于任意的正整數，
當或時，；
當時，；
當時，.      ……………………………………8分
證明如下：
首先，由可知時，；
其次，對于任意的正整數，
時，；
…………………9分
時，

所以，.                                              …………………10分
時，

事實上，我們可以證明：對于任意正整數，（*）（證明見后），所以，此時，.
綜上可知：結論得證.                                                             …………………12分
對于任意正整數，（*）的證明如下：
1）當（）時，
，
滿足（＊）式。
2）當時，，滿足（＊）式。
3）當時，

于是，只須證明，如此遞推，可歸結為1）或2）的情形，于是（＊）得證.
…………………14分