Question

（2009•河北區二模）如圖所示，桶1中的水按一定規律流入桶2中，已知開始時桶1中有a升水，桶2是空的，t分鐘后桶1中剩余的水符合指數衰減曲線y1=ae-nt（其中n是常數，e是自對數的底數）．假設在經過5分鐘時，桶1和桶2中的水恰好相等．求：
（Ⅰ）桶2中的水y₂與時間t的函數關系式；
（Ⅱ）再過多少分鐘，桶1中的水是

a

8

？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據桶2中的水是從桶1中流出的水，而桶1開始的水是a，滿足y1=ae-nt，可得桶2中的水與t的函數關系式；
（Ⅱ）利用經過5分鐘時，桶1和桶2中的水恰好相等，求出桶1中剩余的水的函數解析式，從而進一步可得方程，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵桶2中的水是從桶1中流出的水，而桶1開始的水是a，又滿足y1=ae-nt，
∴桶2中的水與t的函數關系式是y2=a-ae-nt．  …（4分）
（Ⅱ）∵t=5時，y₁=y₂，∴ae^-5n=a-ae^-5n
解得2e^-5n=1，n=

1

5

ln2．
∴y1=ae

ln2

5

t．…（8分）
當y1=

a

8

時，有

a

8

=ae

ln2

5

t，解得t=15分鐘．
所以，再過10分鐘桶1中的水是

a

8

．  …（12分）

點評：本題考查函數模型的建立，考查學生利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．