Question

已知橢圓C:的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

(1)求橢圓的方程；

(2)若過點(2，0)的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足（為坐標原點），當 時，求實數取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) .

【解析】

試題分析：(1)先根據圓心到直線的距離等于半徑，求出圓的半徑即橢圓短半軸的長，然后由離心率求出和的關系，進而得到的值，寫出橢圓方程即可；(2)先設出直線方程，再由直線方程與橢圓方程聯立方程組，求得，兩點的橫坐標滿足的方程，它的判別式大于零得到，然后由已知條件，結合兩點間的距離公式以及根與系數的關系求得，，從而解得，根據已知有以及點在橢圓上，先求出點的坐標，然后代入橢圓方程可知，結合求解的，即可得到的解集.

試題解析：(1)由題意知，短半軸長為：，

∵，∴，

即，∴，

故橢圓的方程為：.                          2分

(2)由題意知，直線的斜率存在，設直線：，

設，，，

由得，.

，解得.                   4分

.

∵，∴，

解得，.

∵點在橢圓上，∴，

∴.                 ..7分

∵，∴，

∴，

∴，

∴，∴                             10分

∴，

∵，∴，

∴或，

∴實數取值范圍為.                          12分

考點：1.橢圓的標準方程；2.點到直線的距離公式；3.方程的根與系數的關系；4.解不等式；5.平面向量的坐標運算