Question

已知橢圓C的離心率為e=

6

3

，一條準線方程為x=

3 2

2

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設動點P滿足：

OP

=

OM

+

ON

，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為-

1

3

，問：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，求A，B的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的標準方程，利用橢圓C的離心率為e=

6

3

，一條準線方程為x=

3 2

2

，建立方程組，求得幾何量，即可求橢圓C的標準方程；
（2）利用

OP

=

OM

+

ON

，直線OM與ON的斜率之積為-

1

3

，確定P的軌跡方程，即可求得結論．

解答：解：（1）設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓C的離心率為e=

6

3

，一條準線方程為x=

3 2

2

∴

c a = 6 3 a2 c = 3 2 2

，∴a=

3

，c=

2

，∴b=1
∴橢圓C的標準方程為

x2

3

+y2=1；                …．（4分）
（2）設P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由

OP

=

OM

+

ON

得x=x₁+x₂，y=y₁+y₂…（6分）
因為點M，N在橢圓

x2

3

+y2=1上，即x²+3y²=3，所以x12+3y12=3，x22+3y22=3…（8分）
故x2+3y2=(x1+x2)2+3(y1+y2)2=(x12+3y12)+(x22+3y22)+2(x1x2+3y1y2)=6+2（x₁x₂+3y₁y₂）…（10分）
設分別為直線OM，ON的斜率，由題設條件知kOM•kON=

y1y2

x1x2

=-

1

3

，因此x₁x₂+3y₁y₂=0…（12分）
所以x²+3y²=6，即

x2

6

+

y2

2

=1…．（14分）
所以P點是橢圓

x2

6

+

y2

2

=1上的點，設該橢圓的左、右焦點為A，B，則由橢圓的定義|PA|+|PB|為定值，又因c=

6-2

=2，因此兩焦點的坐標為A（-2，0），B（2，0）．                                    …（16分）

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查標準方程，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定橢圓的標準方程是關鍵．