Question

若函數f_A（x）的定義域為A=[a，b)，且fA(x)=(

x

a

+

b

x

-1)2-

2b

a

+1，其中a、b為任意正實數，且a＜b．
（1）當A=[4，7）時，研究f_A（x）的單調性（不必證明）；
（2）寫出f_A（x）的單調區間（不必證明），并求函數f_A（x）的最小值、最大值；
（3）若x₁∈I_k=[k²，（k+1）²），x₂∈I_k+1=[（k+1）²，（k+2）²），其中k是正整數，對一切正整數k不等式fIk(x1)+fIk+1(x2)＜m都有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用定義可得A=[1，4)時，fA=(x+

4

x

-1)2-7，判斷出x+

4

x

∈[4，5]，從而可得f_A（x）的單調性；
（2）根據（1）的思路，結合函數

x

a

+

b

x

的單調性可得f_A（x）的單調性，從而確定函數f_A（x）的最小值、最大值；
（3）分別求出fIk(x)最小值，fIk+1(x)最小值，將問題轉化為m＞

2

k2

+

2

(k+1)2

（k∈N*），從而用最值法可解．

解答：解：（1）當A=[1，4)時，fA=(x+

4

x

-1)2-7…（2分）
∵x+

4

x

∈[4，5]，∴當x∈[1，2]時f_A（x）是減函數，當x∈[2，4）時f_A（x）是增函數 …（4分）
（2）fA(x)=(

x

a

+

b

x

-1)2-

2b

a

+1在x∈[a，

ab

]上fA是減函數；在x∈[

ab

，b)上f_A是增函數．
∴當x=

ab

時fA(x)有最小值為(2

b a

-1)2-

2b

a

+1=

2b

a

-4

b a

+2=2(

b a

-1)2…（8分）
當x=a時f_A（x）有最大值為(

b

a

)2-

2b

a

+1=

b2

a2

-

4b

a

+1=(

b

a

-1)2…（10分）
（3）當A=I_k時fIk(x)最小值為fIk(k(k+1))=

2

k2

當A=I_k+1時fIk+1(x)最小值為fIk+1((k+1)(k+2))=

2

(k+1)2

…（12分）
∴m＞

2

k2

+

2

(k+1)2

（k∈N*）…（14分）
設 t=

2

k2

+

2

(k+1)2

，(k∈N*)，則  tmax=

5

2

，∴m＞

5

2

…（16分）

點評：本題是一道新定義題，關鍵是理解定義，合理使用定義進行轉化，有一定的難度．