Question

已知函數，.

（Ⅰ）已知，若，求的值；

（Ⅱ）設，當時，求在上的最小值；

（Ⅲ）求函數在區間上的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，最小值為；（Ⅲ）當時，在上的最大值為0；當時，在上的最大值為；當時，在上的最大值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將函數去掉絕對值寫成分段函數形式，結合函數圖像滿足的只可能為，從而，，由即可得；（Ⅱ）寫出的表達式，根據分段函數的性質，先求出每一段上的最小值，其中最小的即為 的最小值；（Ⅲ）將寫成分段函數的形式，每一段均為二次函數的形式，結合二次函數圖像，分類討論函數的對稱軸與區間的關系，從而求出最大值.

試題解析：（Ⅰ）

由圖像可知，

即為，所以 3分

（Ⅱ），則，

當時，，即為，解得

當時，，即為，解得

當時，最小值為

（本問也可直接利用圖像說明理由求解） 6分

（Ⅲ）

①記，結合圖像可知，

當，即時，

當，即時， 8分

②記，結合圖像可知，

當，即時，

當，即時，

當，即時，

③記，結合圖像可知，

當，即時，

當，即時， 10分

由上討論可知：

當時，

當時，

當時，

當時，

當時， 15分

綜上所述：當時，在上的最大值為0

當時，在上的最大值為

當時，在上的最大值為. 16分

考點：分段函數的解析式求法，數形結合思想，分類討論思想.