Question

已知sin(x+

π

6

)=

1

3

，則sin2x的值為

-7 3 ±4 2

18

．

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦函數展開表達式，通過平方即可求解sin2x與cos2x的關系式，然后求解sin（2x-

π

6

）與cos（2x-

π

6

）的值．通過角的變換求解sin2x．

解答：解：因為sin(x+

π

6

)=

1

3

，
所以sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

=

1

3

，
即

3

2

sinx+

1

2

cosx=

1

3

，
兩邊平方可得

3

4

sin2x+

3

4

sin2x+

1

4

cos2x=

1

9

，

1-cos2x

4

+

3

4

sin2x=-

5

36

，
所以sin（2x-

π

6

）=-

7

9

，cos（2x-

π

6

）=±

4 2

9

．
所以sin2x=sin（2x-

π

6

+

π

6

）=sin（2x-

π

6

）cos

π

6

+sin

π

6

cos（2x-

π

6

）=-

7

9

×

3

2

±

1

2

×

4 2

9

=

-7 3 ±4 2

18

．
故答案為：

-7 3 ±4 2

18

點評：本題考查兩角和的正弦函數的應用，角的變換的技巧，同角三角函數的基本關系式的應用，考查計算能力．