Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，△ABD和△BCD是兩個全等的等腰直角三角形，O為BD的中點，且AB=AD=CB=CD=2，AC=．

(1)當時，求證：AO⊥平面BCD；
(2)當二面角的大小為時，求二面角的正切值．

Answer 1

(1)先證 AO⊥CO, AO⊥BD   (2)

試題分析：(1)根據題意知，在△AOC中，，，
所以，所以AO⊥CO．
因為AO是等腰直角E角形ABD的中線，所以AO⊥BD．
又BDCO=O，所以AO⊥平面BCD．
(2)法一 由題易知，CO⊥OD．如圖，以O為原點，
OC、OD所在的直線分別為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則有O(0，0，0)，，，．
設，則，．
設平面ABD的法向量為，

則即
所以，令，則．
所以．
因為平面BCD的一個法向量為，
且二面角的大小為，所以，
即，整理得．
因為，所以，
解得，，所以，
設平面ABC的法向量為，
因為，，
則即
令，則，．所以．
設二面角的平面角為，則
．
所以，即二面角的正切值為．
法二 在△ABD中，BD⊥AO，在△BCD中，BD⊥CO，
所以∠AOC是二面角的平面角，即∠AOC=．
如圖，過點A作CO的垂線交CO的延長線于點H，
因為BD⊥CO，BD⊥AO，且COAO=O，
所以BD⊥平面AOC．
因為AH平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且COBD=O，所以AH⊥平面BCD．
過點A作AK⊥BC，垂足為K，連接HK．
因為BC⊥AH，AKAH=A，所以BC⊥平面AHK．
因為HK平面AHK，所以BC⊥HK，
所以∠AKH為二面角的平面角．

在△AOH中，∠AOH=，，則，，
所以．
在R t△CHK中，∠HCK=，所以．
在 R t△AHK中，，
所以二面角的正切值為．
點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量、直線與平面所成的角等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．