Question

已知{a_n}為等差數列，且a₁＋a₃＝8，a₂＋a₄＝12.
（1）{a_n}的通項公式；
（2）記{a_n}的前n項和為S_n，若a₁，a_k，S_k＋2成等比數列，求正整數k的值．

Answer 1

(1) a_n＝2n.(2) k＝6.

試題分析：（1）利用等差數列的通項公式，借助于條件a₁+a₃=12，a₂+a₄=6，可求a₁，d的值，從而可求 數列的通項公式a_n及它的前n項和S_n．
（2）由(1)可得S_n＝n(n＋1)，那么結合因為a₁，a_k，S_k＋2成等比數列得到k的值。
解：(1)設數列{a_n}的公差為d，由題意知
解得a₁＝2，d＝2.
所以a_n＝a₁＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)可得S_n＝＝＝n(n＋1)．
因為a₁，a_k，S_k＋2成等比數列，所以＝a₁S_k＋2.
從而(2k)²＝2(k＋2)(k＋3)，即k²－5k－6＝0，
解得k＝6或k＝－1(舍去)．因此k＝6.
點評：解決該試題的關鍵是對于等差數列的等差中項的性質的靈活運用求解通項公式。