Question

已知圓過點，且圓心在直線上。

（I）求圓的方程；

（II）問是否存在滿足以下兩個條件的直線: ①斜率為；②直線被圓截得的弦為，以為直徑的圓過原點. 若存在這樣的直線，請求出其方程；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（I）（II）存在，或

【解析】

試題分析：（I）用待定系數法求圓的方程，即先設出圓的標準式方程或一般式方程，然后根據已知條件列出方程組求出未知系數即可。（II）假設直線存在，其方程為，與圓的方程聯立 消去得到關于的一元二次方程，由韋達定理得到根與系數間的關系，因直線與圓由兩個交點故此一元二次方程的判別式應大于0。以為直徑的圓過原點即，可轉化為直線垂直斜率乘積等于，也可轉化為，還可轉化為直角三角形勾股定理即，得到。即可得到關于的方程，若方程有解則假設成立，否則假設不成立。

試題解析：【解析】
(1)設圓C的方程為

則解得D= 6,E=4,F=4

所以圓C方程為 5分

（2）設直線存在，其方程為，它與圓C的交點設為A、B

則由得（＊）

∴ 7分

∴=因為AB為直徑，所以，

得， 9分

∴，

即，，∴或 11分

容易驗證或時方程（＊）有實根.

故存在這樣的直線有兩條，其方程是或. 12分

考點：圓的方程，直線和圓的位置關系，考查分析問題、解決問題的能力。