Question

已知數列和滿足：，，，其中為實數，為正整數。
（Ⅰ）證明：對任意的實數，數列不是等比數列；
（Ⅱ）證明：當時，數列是等比數列；
（Ⅲ）設為數列的前項和，是否存在實數，使得對任意正整數，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：假設存在一個實數，使是等比數列，則有，即
，矛盾。
所以不是等比數列。
（Ⅱ）證明：
。
又。由上式知，
故當時，數列是以為首項，為公比的等比數列。
（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）得，于是
，
當時，，從而。上式仍成立。
要使對任意正整數，都有。
即。
令，則
當為正奇數時，：當為正偶數時，，
的最大值為。
于是可得。
綜上所述，存在實數，使得對任意正整數，都有；
的取值范圍為。

略