Question

設函數y＝f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d的圖象在x＝0處的切線方程為24x＋y－12＝0.

(1)求c，d；

(2)若函數在x＝2處取得極值－16，試求函數解析式并確定函數的單調區間.

Answer 1

(1)f(x)的定義域為R，

f′(x)＝3ax²＋2bx＋c，∴f′(0)＝c；

∵切線24x＋y－12＝0的斜率為k＝－24，

∴c＝－24；

把x＝0代入24x＋y－12＝0得y＝12，

∴d＝12.

∴c＝－24，d＝12.

(2)由(1)f(x)＝ax³＋bx²－24x＋12，

由已知得⇒，

∴.

∴f(x)＝x³＋3x²－24x＋12，

∴f′(x)＝3x²＋6x－24

＝3(x²＋2x－8)＝3(x＋4)(x－2)，

由f′(x)>0得，x<－4或x>2；

由f′(x)<0得，－4<x<2；

∴f(x)的單調增區間為(－∞，－4)，(2，＋∞)；

單調減區間為(－4,2).