Question

（本小題滿分14分）
設動圓過點，且與定圓內切，動圓圓心的軌跡記為曲線，點的坐標為．
（1）求曲線的方程；
（2）若點為曲線上任意一點，求點和點的距離的最大值；
（3）當時，在（2）的條件下，設是坐標原點，是曲線上橫坐標為的點，記△的面積為，以為邊長的正方形的面積為．若正數滿足，問是否存在最小值？若存在，求出此最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（本小題滿分14分）
（1）.    
（2） ．
（3）存在最小值．

（本小題滿分14分）
解: （1）定圓圓心為，半徑為.     --------------------------------------------1分
設動圓圓心為，半徑為，由題意知，，，      ----------------------------------------------------------------2分
因為,
所以點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，    -------------3分
故曲線的方程為.     --------------------------------------------------------4分
（2）設，則

，      -----------------------------------------------------5分
令，，所以，
當，即時，在上是減函數，
 ；          ----------------------------------------------6分
當，即時，在上是增函數，在上是減函數，則；                     -----------------------7分
當，即時，在上是增函數，
．   -----------------------------------------------------------8分
所以， ．              --------------------------9分
（3）當時,,于是,.
若正數滿足條件，則， -------------------------10分
即，所以 .       -----------------------------11分
令，設，則，，于是

所以，當，即，時，，
----------------------------------------------13分
所以， ，即．所以，存在最小值． ------------------------14分
另解：當時,,于是,.
若正數滿足條件，則， -------------------------10分
即，所以 .       ---------------------------11分
令，則，
由,得.
當時，；當時，.
故當時，， ---------------------------------------------13分
所以， ，即．所以，存在最小值．  -----------------------14分