Question

（15分）已知函數（不同時為零的常數），導函數為.

（Ⅰ）當時，若存在使得成立，求的取值范圍；

（Ⅱ）求證：函數在內至少有一個零點；

（Ⅲ）若函數為奇函數，且在處的切線垂直于直線，關于的方程在上有且只有一個實數根，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）函數在內至少有一個零點；（3）或.

【解析】第一問利用當時，==，其對稱軸為直線，

當 ，解得，當，無解，

所以的的取值范圍為

第二問中，法二：，，．

由于不同時為零，所以，故結論成立．

第三問中，)因為=為奇函數，所以, 所以，

又在處的切線垂直于直線，所以，即．

因為　所以在上是増函數，在上是減函數，由解得，結合圖像和極值點得到結論。

解：（1）當時，==，其對稱軸為直線，

當 ，解得，當，無解，

所以的的取值范圍為．………………………………………………4分

（2）因為，

法一：當時，適合題意………………………………………6分

當時，，令，則，

令，因為，

當時，，所以在內有零點．

當時，，所以在（內有零點．

   因此，當時，在內至少有一個零點．

綜上可知，函數在內至少有一個零點．……………………10分

法二：，，．

由于不同時為零，所以，故結論成立．

 (3)因為=為奇函數，所以, 所以，

又在處的切線垂直于直線，所以，即．

因為　所以在上是増函數，在上是減函數，由解得，如圖所示，

當時，，即，解得；

當時， ，解得；

當時，顯然不成立；

當時，，即，

解得；

當時，，故．

所以所求的取值范圍是或．