Question

已知數列具有性質：①為正數；②對于任意的正整數，當為偶數時，；當為奇數時，
（1）若，求數列的通項公式；
（2）若成等差數列，求的值；
(3)設，數列的前項和為，求證：

Answer 1

（1）；(2) 2；（3）證明見試題解析．

試題分析：（1）由于64不算大，可以依次計算出，因為按照定義，，而此開始，故可得出通項公式；（2）顯然必須是整數，而且要計算，因此我們可以根據的值分類討論（分成四類）．（3）
要證不等式，最好能求出，那么也就要求出數列的各項，那么我們根據數列定義，由為奇數，則為偶數，為奇數，接下來各項都是偶數，一起到某項為1，下面一項為0，以后全部為0．實際上項為1的項是第項，且時，
時，因此是最大的，但在計算時，要注意當時，，只要它不為0，就可繼續下去．
試題解析：（1）由，可得，，…，，，，，…，
即的前7項成等比數列，從第8起數列的項均為0．　（2分）
故數列的通項公式為．　    （4分）
（2）若時，，，
由成等差數列，可知即，解得，故；(舍去)
若時，，，
由成等差數列，可知，解得，故；(舍去)（3分）
若時，，，
由成等差數列，可知，解得，故；
若時，，，
由成等差數列，可知，解得，故；(舍去)
∴的值為2．                          （6分）
（3）由（），可得，
，，
若，則是奇數，從而，
可得當時，成立．            （3分）
又，，…
故當時，；當時，．           （5分）
故對于給定的，的最大值為

，
故．                      （8分）項和與最大值．