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四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a．
（I）若M是底面ABCD的一個動點，且滿足|MB|=|MS|，求點M在正方形ABCD內的軌跡；
（II）試問在線段SD上是否存在點E，使二面角C-AE-D的大小為60°？若存在，確定點E的位置；若不存在，請說明理由．
（1）以D為原點，
DA
、
DC
、
DS
的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則B（a，a，0），S（0，0，a），…（2分）
設M（x，y，0），則由|MB|=|MS|得
(x-a)2+(y-a)2
=
x2+y2+a2
…（4分）
化簡得x+y-
a
2
=0，所以點M在正方形ABCD內的軌跡為△ACD平行于邊AC的中位線．…（6分）
（2）假設存在，設
DE
=λ
DS
(0≤λ≤1)，
DC
=（0，a，0）為平面ADE的一個法向量…（8分）
設平面ACE的一個法向量為
n
=（x，y，z），則
n
•
EA
=0，
n
•
EC
=0
即
x-λz=0
y-λz=0
，取z=1，得
n
=（λ，λ，1），…（10分）
所以cos600=
|
DC
•
n
|
|
DC
|•|
n
|
=
|λ|
2λ2+1
，又0≤λ≤1，解得λ=
2
2
，
故在線段SD上存在點E，
DE
=
2
2
DS
，使二面角C-AE-D的大小為600．…（13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

邊長為a的菱形ABCD中銳角A=θ，現沿對角線BD折成60°的二面角，翻折后|AC|=
3
2
a，則銳角A是（　　）
A．
π
12
B．
π
6
C．
π
3
D．
π
4

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設正方體ABC-A1B1C1D1的棱長為2，動點E，F在棱A1B1上，動點P、Q分別在棱AD、CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z＞0），則下列結論中錯誤的是（　　）
A．EF∥平面DPQ
B．二面角P-EF-Q所成角的最大值為
π
4
C．三棱錐P-EFQ的體積與y的變化有關，與x、z的變化無關
D．異面直線EQ和AD1所成角的大小與x、y的變化無關

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點E是BC邊上的中點．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED；②求二面角P-AB-C大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為a，側棱AA1長為ka（k＞0），E為側棱BB1的中點，記以AD1為棱，EAD1，A1AD1為面的二面角大小為θ．
（1）是否存在k值，使直線AE⊥平面A1D1E，若存在，求出k值；若不存在，說明理由；
（2）試比較tanθ與2
2
的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=
2
，AB=1，E是DD1的中點．
（1）求證：AC⊥B1D；
（2）求二面角E-AC-B的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）證明：AD⊥平面PAB；
（2）求異面直線PC與AD所成的角的余弦值；
（3）求二面角P-BD-A的大小余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

長方體ABCD-A1B1C1D1的側棱AA1=a，底面ABCD的邊長AB=2a，BC=a，E為C1D1的中點；
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐P-ABCD底面是平行四邊形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=
1
2
AD，∠BAD=60°，E，F分別為AD，PC的中點．
（1）求證：EF∥面PAB
（2）求證：EF⊥面PBD
（3）求二面角D-PA-B的余弦值．

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