Question

四棱錐P-ABCD底面是平行四邊形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD，∠BAD=60°，E，F分別為AD，PC的中點．
（1）求證：EF∥面PAB
（2）求證：EF⊥面PBD
（3）求二面角D-PA-B的余弦值．

Answer 1

（1）證明：取PB的中點為M連結AM，MF，因為F為PC的中點，所以FM

∥

.

1

2

BC，又ABCD是平行四邊形，
E為AD的中點，所以AMFE是平行四邊形，
所以EF∥面PAB．
（2）因為PA=PB=AB=

1

2

AD，M是PB的中點，所以AM⊥PB，∠BAD=60°，所以AB⊥BD，
因為面PAB⊥面ABCD，所以BD⊥平面PAB，所以AM⊥BD，
又PB∩BD=B，所以AM⊥面PBD．EF∥AM，
所以EF⊥面PBD．
（3）由（2）可知BD⊥平面PAB，作BN⊥PA于N，
顯然N是PA的中點，連結ND，
則∠BND就是二面角D-PA-B的平面角，
設PA=PB=AB=

1

2

AD=2，所以AN=1，AD=4，BD=

42-22

=

12

，
BN=

22-12

=

3

，所以ND=

( 12 )2+( 3 )2

=

15

，
所以二面角D-PA-B的余弦值為：

BN

DN

=

3

15

=

5

5

．