Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB、BC上的點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點A′．
（1）△A′EF恰好是正三角形且Q是A′F的中點，求證：EQ⊥平面A′FD
（2）當E、F分別是AB、BC的中點時，求二面角A′-EF-D的正弦值．

Answer 1

（1）∵DA′⊥A′E，DA′⊥A′F，A′E∩A′F=A′，
∴DA′⊥面A′EF，
∴DA′⊥EQ，
又△A′EF為正三角形，Q′為A′F的中點，
∴EQ⊥A′F，A′F∩DA′，
∴EQ⊥面DA′F；
（2）∵E、F為AB、BC的中點，
∴A′E=A′F=1，ED=FD=

AD2+AE2

=

5

，EF=

BE2+BF2

=

2

，
取EF中點O，連接A′O，OD，則A′O⊥EF，DO⊥EF，
∴∠A′OD為二面角A′-EF-D平面角，
OD=

ED2-OE2

=

5-( 2 2 )2

=

3 2

2

，A′O=

A′E2-EO2

=

1-( 2 2 )2

=

2

2

，
在△A′OD中，cos∠A′OD=

A′O2+OD2-A′D2

2A′O•OD

=

1 2 + 9 2 -4

2× 2 2 × 3 2 2

=

1

3

，
∴∠A′OD=arccos

1

3

，
故二面角A′-EF-D大小為arccos

1

3

．