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如圖平行四邊形ABCD中，已知AD=1，AB=2，對角線BD=2.求對角線AC的長.

思路分析：本題要求線段長度問題，可以轉化為求向量的模來解決.

解：設=a，=b，則=a-b, =a+b.

而||=|a-b|=,

∴||2=5-2a·b=4.①

又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.

由①得2a·b=1,

∴||2=6,∴||=,即AC=.

溫馨提示

(1)合理地選擇基底是解決好問題的第一步，雖說任意兩個不共線的向量都可以做基底，但選擇恰當與否直接關系到解題過程的簡單與復雜.

(2)幾何問題用向量法解決體現出了較強的優勢，有關線段的長度、平行、夾角等問題都可考慮向量法.

(3)在解決本題中，不用解斜三角形，而用向量的數量積及模的知識解決，過程中采取整體代入，使問題解決簡捷明快.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，設
AB
=a，
AC
=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•大連二模）任選一題作答選修：幾何證明選講如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．
（I）若AC=6，AB=10，求⊙O的半徑；
（Ⅱ）連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，設
AB
=a，
AC
=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年山東省聊城市某重點高中高三（上）第二次調研數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在△ABC中，設，，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年山東省聊城市某重點高中高三（上）第二次調研數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在△ABC中，設，，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比．

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