Question

已知函數，曲線上是否存在兩點，使得△是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊的中點在軸上.如果存在，求出實數的范圍；如果不存在，說明理由.

Answer 1

存在，且實數的取值范圍是.

試題分析：先將斜邊的中點在軸上這一條件進行轉化，確定點與點之間的關系，并將是以點為直角頂點條件轉化為，進行得到一個方程，然后就這個方程在定義域上是否有解對自變量的取值進行分類討論，進而求出參數的取值范圍.
試題解析：假設曲線上存在兩點、滿足題意，則、兩點只能在軸兩側，
因為是以為直角頂點的直角三角形，所以，
不妨設，則由的斜邊的中點在軸上知，且，
由，所以  （*）
是否存在兩點、滿足題意等價于方程（*）是否有解問題，
（1）當時，即、都在上，則，
代入方程（*），得，即，而此方程無實數解；
（2）當時，即在上，在上，
則，代入方程（*）得，，即，
設，則，
再設，則，所以在上恒成立，
在上單調遞增，，從而，故在上也單調遞增，
所以，即，解得，
即當時，方程有解，即方程（*）有解，
所以曲線上總存在兩點、，使得是以為直角頂點的直角三角形，
且此三角形斜邊的中點在軸上，此時.