Question

已知H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過點T（-1，0）作直線l與軌跡C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點E（x，0），使得△ABE是等邊三角形，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出M的坐標，利用題意向量的關系，求得x和y的關系，進而求得M的軌跡C．
（2）設直線l的方程，代入拋物線方程，設出A，B的坐標，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，則線段AB中點坐標以及AB的中垂線的方程可得，把y=0代入方程，最后利用△ABE為正三角形，利用正三角的性質推斷E到直線AB的距離的關系式求得k，則x可求．
解答：解（1）設點M的坐標為（x，y），
由．得，
由，得，
所以y²=4x由點Q在x軸的正半軸上，得x＞0，
所以，動點M的軌跡C是以（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線，除去原點．

（2）設直線l：y=k（x+1），其中k≠0代入y²=4x，得k²x²+2（k²-2）x+k²=0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩個實數根，由韋達定理得
所以，線段AB的中點坐標為，線段AB的垂直平分線方程為，
令，所以，點E的坐標為．
因為△ABE為正三角形，所以，點E到直線AB的距離等于|AB|，而|AB|=．
所以，解得，所以．
點評：本題主要考查了橢圓的應用，向量的基本性質．考查了學生分析問題和解決問題的能力．