Question

已知H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過點T（-1，0）作直線l與軌跡C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點E（x₀，0），使得△ABE是等邊三角形，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）設出M的坐標，利用題意向量的關系，求得x和y的關系，進而求得M的軌跡C．
（2）設直線l的方程，代入拋物線方程，設出A，B的坐標，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，則線段AB中點坐標以及AB的中垂線的方程可得，把y=0代入方程，最后利用△ABE為正三角形，利用正三角的性質推斷E到直線AB的距離的關系式求得k，則x₀可求．

解答：解（1）設點M的坐標為（x，y），
由

PM

=-

3

2

MQ

．得P(0，-

y

2

)，Q(

x

3

，0)，
由

HP

•

PM

=0，得(3，-

y

2

)•(x，

3y

2

)=0，
所以y²=4x由點Q在x軸的正半軸上，得x＞0，
所以，動點M的軌跡C是以（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線，除去原點．

（2）設直線l：y=k（x+1），其中k≠0代入y²=4x，得k²x²+2（k²-2）x+k²=0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩個實數根，由韋達定理得x1+x2=-

2(k2-2)

k2

，x1x2=1
所以，線段AB的中點坐標為(

2-k2

k2

，

2

k

)，線段AB的垂直平分線方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-k2

k2

)，
令y=0，x0=

2

k2

+1，所以，點E的坐標為(

2

k2

+1，0)．
因為△ABE為正三角形，所以，點E(

2

k2

+1，0)到直線AB的距離等于

3

2

|AB|，而|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4 1-k2

k2

•

1+k2

．
所以，

2 3 1-k2

k2

=

2 1+k2

|k|

解得k=±

3

2

，所以x0=

11

3

．

點評：本題主要考查了橢圓的應用，向量的基本性質．考查了學生分析問題和解決問題的能力．