Question

設各項為正數的數列的前和為,且滿足:.等比數列滿足：.
（Ⅰ）求數列,的通項公式;
（Ⅱ）設，求數列的前項的和；
（Ⅲ）證明:對一切正整數,有.

Answer 1

（1），；（2）；（3）證明略.

解析試題分析：（1）給出與的關系，求，常用思路：一是利用轉化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為的遞推關系，先求出與的關系，再求；由推時，別漏掉這種情況，大部分學生好遺忘;（2）一般地，如果數列是等差數列，是等比數列，求數列
的前項的和1時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放縮時掌握好規律，怎樣從條件證明出結論.
試題解析：當時，即，又，，即
當時，，又，
當時，
又
由，得

（1）
（2）
得
.............................................9分
（Ⅲ）當時



.....................14分
考點：（1）求數列的通項公式；（2）錯位相減求數列的和；（3）證明恒成立的問題.